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A Brief Introduction to the RLC Circuit

图(一)的电路是我们要想要了解的典型RLC电路,其中R代表电阻、L代表电感、C代表电容、Vs则代表电压源。我们想要关心的是,当电压源的讯号是一个弦波(例如:$$V_0\cos{\omega t}$$),这个电路会展现出什幺特性,这些特性又会有什幺用途呢?

RLC电路(RLC Circuit)

图一 来自于参考文献2 http://paynesnotebook.net/Research/ElectricalCircuits/SeriesRLC/index.html

也许无法避免的,我们需要算一些数学

$$\displaystyle Ri(t)+L\frac{di}{dt}+\int^{\tau=t}_{0} i(\tau)d\tau=V_0\cos{\omega t}$$

上式没有特别深奥的道理,只是这个电路遵守的克希何夫电压定律(Kirchhoff’s voltage law)写出来的样子。写下这条式子后,现在我们要做的,就只是找出什幺样形式的电流 $$i(t)$$ 会满足这条方程式,并藉此看出RLC电路的特色与用途。然而,解出 $$i(t)$$ 并不是件简单的事情。

让我们先定义一些符号以便了解之后的结果。

$$\displaystyle\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

$$\displaystyle \beta=\frac{R}{2L}$$

$$\displaystyle\delta=\tan^{-1}{(\frac{2\omega\beta}{\omega_0^2-\omega^2})}$$

跳过繁杂的计算我们可以得到一个不会太难且具有物理意义的结果

$$\displaystyle i(t)=\frac{-V_0}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}-\omega L)^2}}\sin{(\omega t-\delta)}$$

我们可以从这式子知道些什幺东西呢?

很显然的,$$i(t)$$ 是一个正弦函数,且与电压源有着相同频率但差了一个相位 $$\delta$$,但有趣的是这个函数的振幅:

$$\displaystyle \frac{V_0}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C}-\omega L)^2}}$$

这是一个与 $$R,L,C$$ 值皆有关的函数,暂且让我们令 $$R,L,C,V_0$$ 皆等于一个单位,先来观察它和频率 $$\omega$$ 的关係。

RLC电路(RLC Circuit)

图二 利用Wolfram alpha 平台http://www.wolframalpha.com/绘出,$$y-$$轴为 $$i(t)$$ 的振幅,$$x-$$轴为 $$Vs$$ 的频率 $$\omega$$

我们可以从图(二)看出,这个电路电流的振幅竟然会随着 $$\omega$$ 改变,并且有一个最大值,发生在差不多 $$\omega=1$$,也就是 $$\omega\sim\omega_0$$ 的时候,这是我们觉得有趣的地方。也就是说,这个电路似乎特别喜欢某个频率,当电压源的频率在这个频率时,整个电路会有最大的电流,就好像是「共振」发生了。而这个特别的频率则与 $$L,C$$ 的值有关。

那幺,$$R$$ 扮演什幺脚色呢?

我们让 $$L,C,V_0$$ 维持等于 $$1$$,将 $$R$$ 变为 $$0.5$$、$$0.25$$,则我们可以得到以下结果。

RLC电路(RLC Circuit)

图三 利用Wolfram alpha 平台http://www.wolframalpha.com/绘出,$$y-$$轴为 $$i(t)$$ 的振幅,$$x-$$轴为 $$Vs$$ 的频率 $$\omega$$

在图(三)中,我们依然看出振幅的最大值发生在 $$\omega\sim\omega_0$$ 的时候,但我们也另外发现,随着 $$R$$ 变小,振幅随着越来越大;这似乎告诉了我们 $$R$$ 是一个限制电流大小的物理量,而这也很合乎我们对电阻的认识。当 $$R=0$$ 时,振幅可以趋近于无穷大!

我们现在认识到了,$$RLC$$ 电路一个很重要的特性就是,面对不同频率的电压讯号,会对应产生不同振幅的电流。简单来说,当很多不同频率的讯号同时进入这个电路时,一部分的讯号会被减弱,同时另一部份的讯号会被放大。我们可以藉由改变 $$L,C$$ 的数值,决定哪个频率应该被放大。这便是 $$RLC$$ 电路一个很重要的应用:滤波。

也许你会想说,那幺如果没有 $$R$$,整体的滤波效果应该会最好吧!但是可惜的是,一个电器、电路裏头不会没有电阻;另一方面,电阻也提供了我们一个电流上限的资讯,让我们知道怎样的操纵是安全且足够好的。

参考文献:

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